Algèbre linéaire Exemples

$4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

${(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 2.2.2.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $3$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ .

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.7

Évaluez l’exposant.

$8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.8

Multipliez $8$ par $3$ .

$24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$24 x^{4} \geq 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $24 x^{4} \geq 0$ par $24$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $24 x^{4} \geq 0$ par $24$ .

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $24$ .

$x^{4} \geq 0$

Étape 2.3.2

Comme le côté gauche a une puissance paire, il est toujours positif pour tous les nombres réels.

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4